Nota: Videos de algunos temas al final.

domingo, 6 de septiembre de 2009

1.3 Potencias De i, módulo o valor absoluto de un número complejo

Valor absoluto. El valor absoluto, módulo o magnitud de un número complejo z viene dado por la siguiente expresión: Si pensamos en z como un punto en el plano; podemos ver, por el teorema de Pitágoras, que el valor absoluto de un número complejo coincide con la distancia euclídea desde el origen del plano. Si el complejo está escrito en forma polar z = r eiφ, entonces |z| = r. Podemos comprobar con facilidad estas tres importantes propiedades del valor absoluto para cualquier complejo z y w. Por definición, la función distancia queda como sigue d(z, w) = |z - w| y nos provee de un espacio métrico con los complejos gracias al que se puede hablar de límites y continuidad. La suma, la resta, la multiplicación y la división de complejos son operaciones continuas. Si no se dice lo contrario, se asume que ésta es la métrica usada en los números complejos.

Modulo de un vector
Se llama módulo de un complejo a la longitud del vector que lo representa, lo designaremos por ½ Z½ o simplemente por r. Su valor se obtiene por la conocida relación: ½ Z1½ = r = Que es la relación que nos permite determinar la longitud de un vector. Sea Z un número complejo. Explique como determinar Sea    Z= a +bi.

La raíz cuadrada del complejo a + bi será otro complejo que llamaremos x + yi: = x + yi = x + yi (])

Elevando ambos miembros al cuadrado y reduciendo términos:

a + bi = x2 + 2xyi + y2i2

a + bi = x2 + 2xyi + y2 (−1)

a + bi = (x2 - y2) + 2xyi

Igualando partes reales y partes imaginarias se forma el siguiente sistema: Despejando “y” en ( ]]] ): Sustituyendo este valor en ( ]] ): Expresando en términos de X2:

Tomamos únicamente el valor positivo, pues es mayor que “a” y x2 no puede ser negativo. Además = S

En la ecuación ( ]]] ) podemos observar que “b” tiene el mismo signo que el producto “xy”. Por lo tanto, si “b” es positivo “x” e “y” serán de igual signo y tendremos que: Para b > 0 Para b < 0

Como los signos que deben tomarse para X e Y deben satisfacer la ecuación 2XY= b, hay que hacer las siguientes consideraciones:

Para b > 0: Las raíces deben ser; ambas del mismo signo: positivas o negativas (+,+), (- , -) Para b < 0: Las raíces, se toman con signos opuestos :(+,-),(-, +)

4 comentarios:

  1. En ingeniería los números complejos se usan para muchísimas cosas.

    La razón principal detrás de esto es que los matemáticos desarrollaron una enorme cantidad de herramientas de análisis y álgebra para trabajar con ellos y los ingenieros encontraron una forma práctica de representar vectores con ellos.

    Esta última afirmación es un poco hiperbólica, lo se, pero se ajusta bastante a la realidad y justifica el hecho de que se usen tan ampliamente.

    En ingeniería eléctrica permiten representar muy fácilmente los parámetros de magnitud y fase cuando se representan corrientes y tensiones alternas; el gran vinculador de ellas, la impedancia (cociente de la tensión y la corriente) se representa con un número complejo. Una parte real, una imaginaria, que representan resistencia (real) inductancia y capacitancia (imaginario).

    Este último ejemplo es un ícono para iniciados y no iniciados. Sin embargo los mismos mecanismos se utilizan para analizar el campo magnético resultante en la armadura de un motor, etc.

    En ingeniería electrónica el uso es el mismo que en eléctrica, pero además se aplica (para mencionar sólo un ejemplo) a ondas electromagneticas, en donde se representa la relación entre campos eléctricos y magnéticos.

    En control para representar los retardos entre las señales de realimentación, corrección y error en un sistema.

    En ingeniería mecánica para representar la relación espacial de los esfuerzos en un sistema o internamente en un material.

    En ingeniería civil para representar esfuerzos en estructuras, pendeos...

    En ingeniería hidráulica para poner en números el comportamiento de los fluidos

    En aeronáutica para representar las fuerzas resultantes (en las estructuras mecánicas) pero también en las fuerzas de sustentación


    Control: para el análisis de señales en frecuencia, determinación de polos y ceros de las funciones o modelos matemáticos y estabailización de procesos de control.

    ResponderEliminar
  2. la notación me confundio, no tienes errores??.
    gracias la información me fue util

    ResponderEliminar
  3. que pedo con (]]]) que significa?? ¬¬'!
    no entiendo

    ResponderEliminar